练习题：求解对数方程
问题 1：解 $\log(2x - 3) = \log(3 - x) - 2$
第 1 步：确定定义域。
对数的真数必须为正：
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
因此，该方程的定义域为 $1.5 < x < 3$。
第 2 步：将对数项移到同一侧：
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$
第 3 步：将 $-2$ 写作 $\log 10^{-2}$：
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$
第 4 步：使用商法则 $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$：
$$ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$
第 5 步：$\log(x)$ 函数是一一映射，因此可以推导出：
$$ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} $$
第 6 步：求解 $x$：
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} $$
第 7 步：验证定义域。
$\dfrac{101}{67} \approx 1.507$。由于 $1.507$ 介于 $1.5$ 和 $3$ 之间，该解有效。
最终答案：$x = \dfrac{101}{67}$
问题 2：解 $\log x - \log(x^2 - 1) = -2 \log(x - 1)$
第 1 步：确定定义域。
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ 或 $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
这些条件的交集为 $x > 1$。定义域为 $(1, \infty)$。
第 2 步：使用对数法则重写两侧（左侧用商法则，右侧用幂法则）：
$$ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$
第 3 步：去掉对数（一一映射性质）：
$$ \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$
第 4 步：由于 $x > 1$，则 $x - 1 \neq 0$。两边同乘以 $(x - 1)^2(x + 1)$ 以消去分母：
$$ x(x - 1) = x + 1 $$
第 5 步：求解二次方程：
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
解为：$x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ 且 $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$
第 6 步：验证定义域。
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ 不大于 $1$，因此被舍弃（增根）。
最终答案：$x = 1 + \sqrt{2}$
问题 3：解 $\log_2(2x - 9) = 2 - \log_2(x - 1)$
第 1 步：确定定义域。
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
交集为 $x > 4.5$。定义域为 $(4.5, \infty)$。
第 2 步：将对数移到同一侧，并将 $2$ 替换为 $\log_2 4$：
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$
第 3 步：应用乘积法则：
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$
第 4 步：令真数相等并展开：
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$
第 5 步：通过因式分解求解二次方程：
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
解为：$x = \dfrac{1}{2}$ 和 $x = 5$。
第 6 步：验证定义域。
$x = \dfrac{1}{2}$ 小于 $4.5$，因此是增根。只有 $x = 5$ 落在定义域内。
最终答案：$x = 5$
问题 4：解 $2 \ln(x + 3) - \ln(x + 1) = 3 \ln 2$
第 1 步：确定定义域。
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
交集为 $x > -1$。定义域为 $(-1, \infty)$。
第 2 步：在两侧应用幂法则：
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$
第 3 步：应用商法则：
$$ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$
第 4 步：去掉自然对数并求解：
$$ \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$
第 5 步：因式分解二次方程：
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$
第 6 步：验证定义域。
$x = 1$ 大于 $-1$，因此该解有效。
最终答案：$x = 1$
问题 5：解 $\left( \log_2(x) \right)^2 - \log_2(x^2) = 8$
第 1 步：确定定义域。
由 $\log_2(x)$ 可知，$x > 0$。
由 $\log_2(x^2)$ 可知，$x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$。
交集为 $x > 0$。定义域为 $(0, \infty)$。
第 2 步：使用幂法则简化第二项：
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$
第 3 步：使用代换法。令 $u = \log_2(x)$：
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$
第 4 步：通过因式分解求解 $u$：
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ 或 } u = -2 $$
第 5 步：代回以求解 $x$：
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} $$
第 6 步：验证定义域。
$16$ 和 $\dfrac{1}{4}$ 均严格大于 $0$。
最终答案：$x = 16$ 和 $x = \dfrac{1}{4}$
问题 6：解 $10 \log(\log(x)) = 1$
第 1 步：确定定义域。
对于内层对数：$x > 0$。
对于外层对数：$\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$。
交集为 $x > 1$。定义域为 $(1, \infty)$。
第 2 步：两边同除以 $10$：
$$ \log(\log(x)) = 0.1 $$
第 3 步：将外层对数转换为指数形式（以 10 为底）：
$$ \log(x) = 10^{0.1} $$
第 4 步：将内层对数转换为指数形式：
$$ x = 10^{\left(10^{0.1}\right)} \approx 10^{1.2589} \approx 18.15 $$
第 5 步：验证定义域。
$18.15 > 1$，因此该解有效。
最终答案：$x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$
挑战题（额外练习）
通过这些高级对数和指数问题来测试您的技能（记得检查您的定义域！）：
挑战 1：解 $x$：$$ \log_3(x) + \log_3(x-2) = 1 $$
挑战 2：解 $x$（保留精确的自然对数形式）：$$ 2^x = 5^{x-1} $$
挑战 3：解 $x$：$$ \log(x^2) = (\log x)^2 $$
点击此处查看最终答案
答案 1：$x = 3$。（定义域为 $x > 2$，因此代数解 $x = -1$ 被舍弃）。
答案 2：$x = \dfrac{\ln 5}{\ln 5 - \ln 2}$
答案 3：$x = 1$ 和 $x = 100$。（定义域为 $x > 0$）。
链接与参考
求解对数方程
对数函数
初中数学（6、7、8、9年级）- 免费问题与含答案习题
高中数学（10、11和12年级）- 免费问题与含答案习题
小学数学（4和5年级）- 免费问题与含答案习题
首页